Natural de Amora, Rodrigo Azevedo iniciou os estudos musicais em 2002 na Banda Filarmónica Democrática Timbre Seixalense, na Classe de Percussão do professor Marco Fernandes, e, mais tarde, com o professor Valter Passarinho. Em 2012, ingressou no Curso Profissional da Escola Profissional da Metropolitana, prosseguindo os estudos na Escola Superior de Música de Lisboa. Em 2017, ingressou na Licenciatura em Música (Opção de Instrumentista de Orquestra) da Academia Nacional Superior de Orquestra. Atualmente, frequenta o Mestrado em Ensino de Música na Escola Superior de Música de Lisboa. Durante o seu percurso académico, trabalhou com os seguintes professores: Andreu Rico, Fernando Llopis, Jeffery Davis, João Carlos Pacheco, Marco Fernandes, Miguel Herrera, Pedro Carneiro, Pedro Silva e Richard Buckley.

Em 2014, foi distinguido com o 1.º Prémio na categoria de Música de Câmara (Nível Médio) do Prémio Jovens Músicos, com o Duo de Percussões da Metropolitana. Em 2016, participou no Estágio Gulbenkian para Orquestra. Frequentou, também, durante toda a formação, masterclasses com vários percussionistas, entre os quais Marinus Komst, Nick Woud, Bart Quartier, Jisu Jung, Vassilena Serafimova e Ney Rosauro.

Colaborou com formações de relevo, entre elas a Orquestra Metropolitana de Lisboa, a Orquestra Calouste Gulbenkian, a Orquestra Sinfónica Portuguesa, a Orquestra de Câmara de Almada, a Lisbon Film Orchestra, o Lusitanus Ensemble, o Ensemble MPMP, a Orquestra Municipal de Sintra, a Jovem Orquestra Portuguesa e a Orquestra dos Jovens Músicos, entre outras. Integrou os Quadros da Banda da Armada Portuguesa, como percussionista, entre 2019 e 2024.

Como docente, em 2022 desenvolveu a sua atividade pedagógica na Escola de Música do Conservatório Nacional e é, desde 2018, professor da Classe de Percussão do Conservatório de Música da Metropolitana.