Nascido em 1983, Nuno Abreu iniciou os estudos musicais em 1988 na Fundação Musical dos Amigos das Crianças (Lisboa), onde estudou com Maria José Falcão e terminou o Curso Geral em 2001, com elevadas classificações. Em 2005, concluiu a Licenciatura em Violoncelo, no curso de Instrumentista de Orquestra na Academia Nacional Superior de Orquestra, na classe do professor Paulo Gaio Lima, com as mais elevadas classificações.
Em 2007, concluiu o Mestrado em Performance na Northwestern University School of Music (Chicago), na classe de Hans Jensen, com a máxima classificação. Foram-lhe atribuídas bolsas da Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT), da Fundação Calouste Gulbenkian e da Northwestern School of Music Fellowship.
Participou em masterclasses orientadas pelos professores Ralph Kirshbaum, Frans Helmerson, Bernhard Greenhouse, Anner Bylsma, Wolfgang Boettcher, Márcio Carneiro, Lluis Claret, Martin Ostertag, Maria de Macedo e Xavier Gagnepain.
Realizou vários recitais em Portugal e no estrangeiro, tendo estreado três peças contemporâneas de compositores portugueses (António Pinho Vargas, Hugo Ribeiro e Luís Cardoso) para violoncelo solo. A Crítica aclamou as suas interpretações como sendo «um excelente solista, com um som muito bonito e uma técnica irrepreensível» (Jornal Público).
Integrou a Orquestra das Escolas de Música Particulares, a Orquestra Académica Metropolitana, a Orquestra Sinfónica da Northwestern University (como chefe de naipe), a Civic Orchestra of Chicago (training orchestra da Orquestra Sinfónica de Chicago), a Orquestra Juvenil Ibero-Americana, a Orquestra Sinfónica Portuguesa e a Orquestra Gulbenkian, nas quais trabalhou com maestros como Gustavo Dudamel, Robert Spano, Christoph von Dohnányi e Charles Dutoit, entre outros. Recentemente, foi convidado a integrar a European Union Orchestra, cuja primeira apresentação pública ocorreu em Bucareste, em janeiro de 2019.
Nos Estados Unidos da América, venceu o Prémio Northshore Competition (2007) e, em Portugal, o Prémio Jovens Músicos na modalidade de Música de Câmara (Nível Superior / 2004), bem como o Concurso de Interpretação das Caldas da Rainha (2007). Também em 2007, obteve o 2.º Prémio e o Prémio do Público no Concurso de Interpretação do Estoril.
Lecionou no Instituto Gregoriano de Lisboa, de 2007 a 2016, e leciona desde 2013 na Escola Profissional da Metropolitana.
É, atualmente, e desde 2016, Solista A na Orquestra Metropolitana de Lisboa.